the car or the goat, that is the question - wiredBeep

というわけで、昨日の続きである。記法等も昨日のものに従う。今日の目的は、時系列を考えずに、等確率で実現される事象を表わす順序対として状況を記述し、昨日と同様の結果を導くことである。
まず、順序対 $\langle a s \rangle$ を $A=a$ ∧ $S=s$ の略記とする。また、標本 $a$ の確率測度を $P(\{a\})$ と書く。 $P(\{a\})\neq 0$ なる標本*1を列挙すると：
$\mu_1=\langle k y_1 \rangle$ 、
$\mu_2=\langle k y_2 \rangle$ 、
$\mu_3=\langle y_1 y_2 \rangle$ 、
$\mu_4=\langle y_2 y_1 \rangle$ 、
問題は、 $P(\{\mu_i\})$ が一般には互いに等しくないということである。
では、確率測度はそれぞれいくらなのであろうか? 重要なのは $\mu_3,\mu_4$ である。例として、 $\mu_3$ を考えよう。 $S=y_2$ しか起こり得ないが、事情が $\mu_1$ 等の場合とは違う。 $S=y_i$ は前提であるが、時系列を考えなければ $i=1,2$ が考えられる。しかし、可能なのは $S=y_2$ のみである。司会者の立場で考えれば、 $\mu_1,\mu_2$ と $\mu_3$ とは、以下のように違う：

$\mu_1,\mu_2$: $S=y_1,y_2$ が等確率で実現し得る。それぞれが $\mu_1,\mu_2$ に対応する。
$\mu_3$: 司会者は $S=y_1,y_2$ を等確率で実現しようとし得る。しかし、 $A=y_1$ であるので、 $S=y_1$ を実現しようとした司会者は $S=y_2$ に鞍替えしなければならない。これを $S=y'_2$ と書こう。 $S=y'_2,y_2$ は等確率で実現し得、その和が $\mu_3$ にあたる。

すなわち、 $\mu_3,\mu_4$ は実は $\mu_1$ を基準とすれば、2つの標本をまとめたもので、
$\mu'_3=\langle y_1 y'_2 \rangle$
と
$\mu'_4=\langle y_2 y'_1 \rangle$
とを考えねばならない。これで、各標本の確率測度は等しくなる。
$\mu_i,\mu'_i$ を見れば分かるように、「あなた」は選択を変えた方が $F=k$ となる確率は高い。
……あやしい。結局、一番簡単なのは、昨日の「簡単に」で説明した手法であろう。

*1:本当は全部書きたいが、繁雑になるので仕方がない