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halfway between the car and goats

科学

詳察

昨日の「Kitajima's Complex Conjugate 2006年4月17日の追記が解らない」という話であるが、早速コメントを頂いて、嬉しい限りである。
もちろん、時間経過を追って場合分けをすれば、話は簡単である。少し試してみよう。まず、車を $k$ 、2頭の山羊をそれぞれ $y_1, y_2$ と書く。例えば、車を確率 $p$ で選ぶことを $k(p)$ のように書く。また、「『あなた』が最初に選ぶ扉の中身」を $A$ 、「司会者が開ける扉の中身」を $S$ 、「『あなた』が最後に選んだ扉の中身」を $F$ と書く。場合分け ( $=$ の左側に $A\times S$ の順) とその確率 ( $=$ の右側) は以下のとおり：
$a$ : $k(\frac13)\times y_1(\frac12)=\frac16$ ・・・( $F=k,y_2$ は等確率)
$b$ : $k(\frac13)\times y_2(\frac12)=\frac16$ ・・・( $F=k,y_1$ は等確率)
$c$ : $y_1(\frac13)\times y_2(1)=\frac13$ ・・・( $F=k,y_1$ は等確率)
$d$ : $y_2(\frac13)\times y_1(1)=\frac13$ ・・・( $F=k,y_2$ は等確率)
何故ならば：

$A=k,y_1,y_2$ となる確率はそれぞれ等しく $\frac13$ である。
$A=k$ の場合、 $S=y_1,y_2$ を等しい確率 $\frac12$ でとり得る。
$A=y_i$ の場合、 $S=y_j$ (ただし、 $i\neq j$ ) しかとり得ない (確率は $1$ )。

$a$ 〜 $d$ のいずれの場合でも $F=k,y_i$ は等確率であるので、

$A=k$ (最初車を選んだ) の確率は $a+b=\frac13$ 。
$A=y_i$ (最初山羊を選んだ) の確率は $c+d=\frac23$ 。

従って、選択を変えた方が、倍、車を得る確率が高くなる。

簡単に

もっと簡単にいこう。 $A$ の場合分けは

$A=k,y_1,y_2$ が等確率。

言い替えれば、

$A=k$ の確率は $\frac13$ 。(車を得るには選択変更してはいけない)
$A=y_i$ の確率は $\frac23$ 。(車を得るには選択変更が必要)

司会者が山羊を取り除く (1. の場合は $S=y_1,y_2$ の2通りがあるが、等確率) ことにより、残っているのは車と山羊が等確率。従って、1. と 2. の確率がそのまま適用でき、

選択変更せずに車を得る確率は $\frac13$ 。
選択変更して車を得る確率は $\frac23$ 。

ダメだ! 納得できない!!

しかしながら、時系列を追った議論は、どうも騙された気がする。集合的にいってみたいのだが…考え中。
というか、合ってますか? 上の議論。確率は苦手なので…。